Matematika

Euklides, matematikawan Yunani, 100 tahun ke-3 SM, seperti yang dilukiskan oleh Raffaello Sanzio di dalam detail ini dari Sekolah Athena.^[1]

Matematika (dari bahasa Yunani: μαθηματικά - mathēmatiká) yaitu studi besaran, struktur, ruang, dan perubahan. Para matematikawan mencari bermacam pola,^[2][3] mendefinisikan konjektur baru, dan membangun kebenaran menempuh cara deduksi yang kaku dari aksioma-aksioma dan definisi-definisi yang selaras.^[4]

Terdapat perselisihan hal apakah objek-objek matematika seperti bilangan dan titik mempunyai dengan cara alami, atau hanyalah buatan manusia. Seorang matematikawan Benjamin Peirce menyebut matematika menjadi "ilmu yang menggambarkan simpulan-simpulan yang penting".^[5] Di pihak lain, Albert Einstein mengemukakan bahwa "sejauh hukum-hukum matematika merujuk kepada kenyataan, mereka tidaklah pasti; dan sejauh mereka mesti, mereka tidak merujuk kepada kenyataan."^[6]

Menempuh penggunaan penalaran logika dan abstraksi, matematika berkembang dari pencacahan, perhitungan, pengukuran, dan pengkajian sistematis terhadap struktur dan kebangkitan benda-benda fisika. Matematika praktis telah menjadi aktivitas manusia sejak hal benar rekaman tertulis. Argumentasi kaku pertama muncul di dalam Matematika Yunani, terutama di dalam karya Euklides, Elemen.

Matematika selalu berkembang, misalnya di Cina pada tahun 300 SM, di India pada tahun 100 M, dan di Arab pada tahun 800 M, sampai abad Renaisans, ketika temuan baru matematika berinteraksi dengan penemuan ilmiah baru yang mengarah pada pengembangan yang cepat di dalam laju penemuan matematika yang berlanjut sampai kini.^[7]

Kini, matematika dipakai di seluruh dunia menjadi alat penting di bermacam bagian, termasuk ilmu alam, teknik, kedokteran/medis, dan ilmu sosial seperti ekonomi, dan psikologi. Matematika terapan, cabang matematika yang melingkupi penerapan ilmu matematika ke bidang-bidang lain, mengilhami dan membikin penggunaan temuan-temuan matematika baru, dan sekali-sekali mengarah pada pengembangan disiplin-disiplin ilmu yang sepenuhnya baru, seperti statistika dan teori permainan.

Para matematikawan juga bergulat di dalam matematika murni, atau matematika untuk pengembangan matematika itu sendiri, tanpa hal benar penerapan di dalam pikiran, meskipun penerapan praktis yang menjadi latar munculnya matematika murni ternyata seringkali ditemukan terkemudian.^[8]

Etimologi

Ucap "matematika" berasal dari bahasa Yunani Kuno μάθημα (máthēma), yang berarti pengkajian, pembelajaran, ilmu yang ruang lingkupnya menyempit, dan guna teknisnya menjadi "pengkajian matematika", bahkan demikian juga pada abad kuno. Ucap sifatnya yaitu μαθηματικός (mathēmatikós), berkaitan dengan pengkajian, atau tekun berusaha bisa, yang semakin jauhnya berarti matematis. Dengan cara khusus, μαθηματικὴ τέχνη (mathēmatikḗ tékhnē), di dalam bahasa Latin ars mathematica, berarti seni matematika.

Kentara jamak kerap dipakai di dalam bahasa Inggris, seperti juga di dalam bahasa Perancis les mathématiques (dan jarang dipakai menjadi turunan kentara tunggal la mathématique), merujuk pada kentara jamak bahasa Latin yang cenderung netral mathematica (Cicero), berdasarkan kentara jamak bahasa Yunani τα μαθηματικά (ta mathēmatiká), yang dipakai Aristoteles, yang terjemahan kasarnya berarti "segala hal yang matematis".^[9] Tetapi, di dalam bahasa Inggris, ucap benda mathematics mengambil kentara tunggal bila dipakai menjadi ucap kerja. Di dalam ragam percakapan, matematika kerap kali disingkat menjadi math di Amerika Utara dan maths di tempat lain.

Sejarah

Sebuah quipu, yang dipakai oleh Inca untuk mencatatkan bilangan.

Evolusi matematika dapat dipandang menjadi sederetan abstraksi yang selalu bertambah banyak, atau kalimat lainnya perluasan pokok masalah. Abstraksi mula-mula, yang juga berjalan pada banyak binatang^[10], yaitu hal bilangan: pemberitahuan bahwa dua apel dan dua jeruk (sebagai contoh) memiliki jumlah yang sesuai.

Selain mengetahui cara mencacah objek-objek fisika, manusia prasejarah juga mengetahui cara mencacah besaran mujarad, seperti waktu — hari, musim, tahun. Aritmetika landasan (penjumlahan, proses mengurangkan, perkalian, dan pembagian) menyertai dengan cara alami.

Langkah selanjutnya memerlukan penulisan atau sistem lain untuk mencatatkan bilangan, semisal tali atau dawai bersimpul yang dinamakan quipu dipakai oleh bangsa Inca untuk menyimpan data numerik. Sistem bilangan benar banyak dan bermacam-macam, bilangan tertulis yang pertama diketahui benar di dalam naskah warisan Mesir Kuno di Kerajaan Tengah Mesir, Lembaran Matematika Rhind.

Sistem bilangan Maya

Penggunaan terkuno matematika yaitu di dalam perdagangan, pengukuran tanah, pelukisan, dan pola-pola penenunan dan pencatatan waktu dan tidak pernah berkembang lapang sampai tahun 3000 SM ke muka ketika orang Babilonia dan Mesir Kuno mulai menggunakan aritmetika, aljabar, dan geometri untuk perhitungan pajak dan urusan keuangan lainnya, kontruksi dan konstruksi, dan astronomi.^[11] Pengkajian matematika yang sistematis di dalam kebenarannya sendiri dimulai pada abad Yunani Kuno antara tahun 600 dan 300 SM.

Matematika sejak saat itu segera berkembang lapang, dan terdapat interaksi benar ciri utamanya antara matematika dan sains, menguntungkan kedua belah pihak. Penemuan-penemuan matematika dibuat sepanjang sejarah dan berlanjut sampai kini. Menurut Mikhail B. Sevryuk, pada Januari 2006 terbitan Bulletin of the American Mathematical Society, "Banyaknya makalah dan buku yang dilibatkan di dalam basis data Mathematical Reviews sejak 1940 (tahun pertama beroperasinya MR) kini melebihi 1,9 juta, dan melebihi 75 ribu artikel ditambahkan ke dalam basis data itu tiap tahun. Beberapa luhur karya di samudera ini memuat teorema matematika baru beserta bukti-buktinya."^[12]

Ilham, matematika murni dan terapan, dan estetika

Sir Isaac Newton (1643-1727), seorang penemu kalkulus infinitesimal.

Matematika muncul pada saat dihadapinya masalah-masalah yang rumit yang melibatkan kuantitas, struktur, ruang, atau perubahan. Mulanya masalah-masalah itu dijumpai di dalam perdagangan, pengukuran tanah, dan kesudahan astronomi; kini, semua ilmu ilmu menganjurkan masalah-masalah yang dikaji oleh para matematikawan, dan banyak masalah yang muncul di dalam matematika itu sendiri. Misalnya, seorang fisikawan Richard Feynman menemukan rumus integral pelintasan mekanika kuantum menggunakan paduan nalar matematika dan wawasan fisika, dan teori dawai masa kini, teori ilmiah yang baru saja berkembang yang berusaha membersatukan empat gaya landasan alami, terus saja mengilhami matematika baru.^[13]

Beberapa matematika hanya selaras di dalam wilayah yang mengilhaminya, dan dilaksanakan untuk memecahkan masalah lanjutan di wilayah itu. Tetapi seringkali matematika diilhami oleh bukti-bukti di satu wilayah ternyata benar ciri utamanya juga di banyak wilayah lainnya, dan menggabungkan persediaan umum konsep-konsep matematika. Fakta yang menakjubkan bahwa matematika "paling murni" kerap berpindah menjadi memiliki terapan praktis yaitu apa yang Eugene Wigner memanggilnya menjadi "Ketidakefektifan Matematika tak ternalar di dalam Ilmu Ilmu Alam".^[14]

Seperti di beberapa luhur wilayah pengkajian, ledakan ilmu di abad ilmiah telah mengarah pada pengkhususan di dalam matematika. Satu perbedaan utama yaitu di antara matematika murni dan matematika terapan: beberapa luhur matematikawan memusatkan riset mereka hanya pada satu wilayah ini, dan sekali-sekali pilihan ini dibuat sedini perkuliahan rancangan sarjana mereka. Beberapa wilayah matematika terapan telah digabungkan dengan tradisi-tradisi yang selaras di luar matematika dan menjadi disiplin yang memiliki hak tersendiri, termasuk statistika, riset operasi, dan ilmu komputer.

Mereka yang berminat kepada matematika seringkali menjumpai suatu aspek estetika tertentu di banyak matematika. Banyak matematikawan berucap hal keanggunan matematika, estetika yang tersirat, dan keindahan dari dalamnya. Kesederhanaan dan keumumannya dihargai. Terdapat keindahan di dalam kesederhanaan dan keanggunan bukti yang diberikan, semisal bukti Euclid yakni bahwa terdapat tak-terhingga banyaknya bilangan prima, dan di dalam cara numerik yang anggun bahwa perhitungan laju, yakni transformasi Fourier cepat. G. H. Hardy di dalam A Mathematician's Apology mengungkapkan keyakinan bahwa penganggapan estetika ini, di dalamnya sendiri, cukup untuk mendukung pengkajian matematika murni.^[15]

Para matematikawan kerap menjalankan pekerjaan keras menemukan bukti teorema yang anggun dengan cara khusus, proses mencari Paul Erdős kerap berkutat pada sejenis proses mencari akar dari "Alkitab" di mana Tuhan telah menuliskan bukti-bukti kepuasannya.^[16][17] Kepopularan matematika rekreasi yaitu isyarat lain bahwa kegembiraan banyak dijumpai ketika seseorang mampu memecahkan soal-soal matematika.

Notasi, bahasa, dan kekakuan

Leonhard Euler. Mungkin seorang matematikawan yang terbanyak membikin temuan sepanjang masa

Beberapa luhur notasi matematika yang dipakai saat ini tidaklah ditemukan sampai 100 tahun ke-16.^[18] Pada 100 tahun ke-18, Euler bertanggung jawab atas banyak notasi yang dipakai saat ini. Notasi modern membikin matematika semakin mudah untuk para profesional, tetapi para pemula kerap menemukannya menjadi sesuatu yang mengerikan. Berjalan pemadatan yang amat sangat: sedikit lambang memuat informasi yang kaya. Seperti notasi musik, notasi matematika modern memiliki tata sapaan yang kaku dan menyandikan informasi yang jangan-jangan sukar bila dituliskan menurut cara lain.

Bahasa matematika dapat juga terkesan sukar untuk para pemula. Kata-kata seperti atau dan hanya memiliki guna yang semakin presisi daripada di dalam percakapan sehari-hari. Selain itu, kata-kata semisal terbuka dan lapangan memberikan guna khusus matematika. Jargon matematika termasuk istilah-istilah teknis semisal homomorfisme dan terintegralkan. Tetapi benar alasan untuk notasi khusus dan jargon teknis ini: matematika memerlukan presisi yang semakin dari sekadar percakapan sehari-hari. Para matematikawan menyebut presisi bahasa dan logika ini menjadi "kaku" (rigor).

Lambang ketakhinggaan ∞ di dalam beberapa gaya sajian.

Kaku dengan cara paling dasar yaitu hal bukti matematika. Para matematikawan mau teorema mereka menyertai aksioma-aksioma dengan maksud penalaran yang sistematik. Ini untuk mencegah "teorema" yang salah ambil, didasarkan pada praduga kegagalan, di mana banyak contoh pernah muncul di dalam sejarah subjek ini.^[19] Tingkat kekakuan diharapkan di dalam matematika selalu berubah-ubah sepanjang waktu: bangsa Yunani mengharapkan dalil yang terperinci, tetapi pada saat itu cara yang dipakai Isaac Newton kuranglah kaku. Masalah yang melekat pada definisi-definisi yang dipakai Newton hendak mengarah kepada munculnya analisis saksama dan bukti formal pada 100 tahun ke-19. Kini, para matematikawan baru saja terus bertengkar argumentasi hal bukti berbantuan-komputer. Karena perhitungan luhur sangatlah sukar diperiksa, bukti-bukti itu mungkin saja tidak cukup kaku.^[20]

Aksioma menurut pemikiran tradisional yaitu "kebenaran yang menjadi bukti dengan sendirinya", tetapi konsep ini memicu persoalan. Pada tingkatan formal, sebuah aksioma hanyalah seutas dawai lambang, yang hanya memiliki ruang lingkup tersirat di dalam konteks semua rumus yang terturunkan dari suatu sistem aksioma. Inilah tujuan rancangan Hilbert untuk meletak semua matematika pada sebuah basis aksioma yang kokoh, tetapi menurut Teorema ketaklengkapan Gödel tiap-tiap sistem aksioma (yang cukup kuat) memiliki rumus-rumus yang tidak dapat ditentukan; dan oleh karena itulah suatu aksiomatisasi belakang di dalam matematika yaitu mustahil. Meski demikian, matematika kerap dibayangkan (di dalam konteks formal) tidak lain selain teori himpunan di beberapa aksiomatisasi, dengan pengertian bahwa tiap-tiap pemberitahuan atau bukti matematika dapat dikemas ke dalam rumus-rumus teori himpunan.^[21]

Matematika menjadi ilmu ilmu

Carl Friedrich Gauss, menganggap dirinya menjadi "pangerannya para matematikawan", dan menyebutkan matematika menjadi "Ratunya Ilmu Pengetahuan".

Carl Friedrich Gauss menyebutkan matematika menjadi "Ratunya Ilmu Pengetahuan".^[22] Di dalam bahasa aslinya, Latin Regina Scientiarum, juga di dalam bahasa Jerman Königin der Wissenschaften, ucap yang selaras dengan ilmu ilmu berarti (lapangan) ilmu. Jelas, inipun guna asli di dalam bahasa Inggris, dan tiada keraguan bahwa matematika di dalam konteks ini yaitu sebuah ilmu ilmu. Pengkhususan yang mempersempit ruang lingkup menjadi ilmu ilmu alam yaitu di masa terkemudian. Bila seseorang memandang ilmu ilmu hanya terbatas pada dunia fisika, maka matematika, atau sekurang-kurangnya matematika murni, bukanlah ilmu ilmu.

Albert Einstein mengemukakan bahwa "sejauh hukum-hukum matematika merujuk kepada kenyataan, maka mereka tidaklah pasti; dan sejauh mereka mesti, mereka tidak merujuk kepada kenyataan."^[6]

Banyak filsuf yakin bahwa matematika tidaklah terpalsukan berdasarkan percobaan, dan dengan demikian bukanlah ilmu ilmu per ciri utama Karl Popper.^[23] Tetapi, di dalam karya penting tahun 1930-an hal logika matematika memperlihatkan bahwa matematika tidak dapat direduksi menjadi logika, dan Karl Popper menyimpulkan bahwa "sebagian luhur teori matematika, seperti halnya fisika dan biologi, yaitu hipotetis-deduktif: oleh karenanya matematika menjadi semakin dekat ke ilmu ilmu alam yang hipotesis-hipotesisnya yaitu konjektur (dugaan), semakin daripada menjadi hal yang baru."^[24] Para bijak bestari lainnya, sebut saja Imre Lakatos, telah menerapkan satu versi pemalsuan kepada matematika itu sendiri.

Sebuah tinjauan alternatif yaitu bahwa lapangan-lapangan ilmiah tertentu (misalnya fisika teoretis) yaitu matematika dengan aksioma-aksioma yang ditujukan sedemikian sehingga selaras dengan kenyataan. Faktanya, seorang fisikawan teoretis, J. M. Ziman, mengajukan pendapat bahwa ilmu ilmu yaitu ilmu umum dan dengan demikian matematika termasuk di dalamnya.^[25] Di beberapa kasus, matematika banyak saling berbagi dengan ilmu ilmu fisika, sebut saja penggalian dampak-dampak turut ikhtiar dari beberapa anggapan. Intuisi dan percobaan juga bertingkah laku yang dibuat penting di dalam perumusan konjektur-konjektur, baik itu di matematika, maupun di ilmu-ilmu ilmu (lainnya).

Matematika percobaan terus bertumbuh kembang, memikirkan kebutuhannya di dalam matematika, kesudahan komputasi dan simulasi melakukan peran yang semakin menguat, baik itu di ilmu ilmu, maupun di matematika, melemahkan objeksi yang mana matematika tidak menggunakan cara ilmiah. Di dalam bukunya yang diterbitkan pada 2002 A New Kind of Science, Stephen Wolfram berdalil bahwa matematika komputasi pantas untuk digali dengan cara empirik menjadi lapangan ilmiah di dalam haknya/kebenarannya sendiri.

Pendapat-pendapat para matematikawan terhadap hal ini yaitu beraneka macam. Banyak matematikawan merasai rasa bahwa untuk menyebut wilayah mereka menjadi ilmu ilmu sesuai saja dengan menurunkan kadar kebutuhan sisi estetikanya, dan sejarahnya di dalam tujuh seni liberal tradisional; yang lainnya merasai rasa bahwa pengabaian pranala ini terhadap ilmu ilmu sesuai saja dengan memutar-mutar mata yang buta terhadap fakta bahwa antarmuka antara matematika dan penerapannya di dalam ilmu ilmu dan rekayasa telah mengendalikan banyak pengembangan di dalam matematika.

Satu jalan yang dimainkan oleh perbedaan sudut pandang ini yaitu di dalam perbincangan filsafat apakah matematika dibuat (seperti di dalam seni) atau ditemukan (seperti di dalam ilmu pengetahuan). Yaitu wajar untuk universitas bila dibagi ke dalam bagian-bagian yang menyertakan departemen Ilmu Ilmu dan Matematika, ini memperlihatkan bahwa lapangan-lapangan itu dipandang bersekutu tetapi mereka tidak seperti dua sisi keping uang logam. Pada tataran praktisnya, para matematikawan biasanya dikelompokkan bersama-sama para ilmuwan pada tingkatan kasar, tetapi dipisahkan pada tingkatan belakang. Ini yaitu salah satu dari banyak perkara yang diperhatikan di dalam filsafat matematika.

Penghargaan matematika umumnya dipelihara agar tetap terpisah dari kesetaraannya dengan ilmu ilmu. Penghargaan yang adiluhung di dalam matematika yaitu Fields Medal (medali lapangan),^[26][27] dimulakan pada 1936 dan kini dipersiapkan tiap empat tahunan. Penghargaan ini kerap diasumsikan setingkat dengan Hadiah Nobel ilmu ilmu.

Wolf Prize in Mathematics, dilembagakan pada 1978, mengakui masa prestasi, dan penghargaan internasional utama lainnya, Hadiah Abel, dikenalkan pada 2003. Ini dianugerahkan untuk ruas khusus karya, dapat berupa pembaharuan, atau pemberesan masalah yang terkemuka di dalam lapangan yang mapan.

Sebuah daftar terkenal berisikan 23 masalah terbuka, yang dinamakan "masalah Hilbert", dihimpun pada 1900 oleh matematikawan Jerman David Hilbert. Daftar ini meraih persulangan yang luhur di antara para matematikawan, dan paling sedikit sembilan dari masalah-masalah itu kini terpecahkan.

Sebuah daftar baru memuat tujuh masalah penting, berjudul "Masalah Hadiah Milenium", diterbitkan pada 2000. Pemecahan tiap-tiap masalah ini berhadiah US$ 1 juta, dan hanya satu (hipotesis Riemann) yang merasai penggandaan di dalam masalah-masalah Hilbert.

Bidang-bidang matematika

Sebuah sempoa, alat hitung sederhana yang dipakai sejak abad kuno.

Disiplin-disiplin utama di dalam matematika pertama muncul karena kebutuhan hendak perhitungan di dalam perdagangan, untuk petuah hubungan antarbilangan, untuk mengukur tanah, dan untuk meramal peristiwa astronomi. Empat kebutuhan ini dengan cara kasar dapat dikaitkan dengan pembagian-pembagian kasar matematika ke dalam pengkajian besaran, struktur, ruang, dan perubahan (yakni aritmetika, aljabar, geometri, dan analisis). Selain pokok bahasan itu, juga terdapat pembagian-pembagian yang dipersembahkan untuk pranala-pranala penggalian dari jantung matematika ke lapangan-lapangan lain: ke logika, ke teori himpunan (dasar), ke matematika empirik dari aneka macam ilmu ilmu (matematika terapan), dan yang semakin baru yaitu ke pengkajian kaku hendak ketakpastian.

Besaran

Pengkajian besaran dimulakan dengan bilangan, pertama bilangan asli dan bilangan bulat ("semua bilangan") dan operasi aritmetika di ruang bilangan itu, yang dipersifatkan di dalam aritmetika. Sifat-sifat yang semakin dalam dari bilangan bulat dikaji di dalam teori bilangan, dari mana masuknya hasil-hasil popular seperti Teorema Belakang Fermat. Teori bilangan juga memegang dua masalah tak terpecahkan: konjektur prima kembar dan konjektur Goldbach.

Karena sistem bilangan dikembangkan semakin jauh, bilangan bulat diakui menjadi himpunan bagian dari bilangan rasional ("pecahan"). Selagi bilangan pecahan benar di dalam bilangan real, yang dipakai untuk menyajikan besaran-besaran kontinu. Bilangan real diperumum menjadi bilangan kompleks. Inilah langkah pertama dari jenjang bilangan yang berangkat menyertakan kuarternion dan oktonion. Perhatian terhadap bilangan asli juga mengarah pada bilangan transfinit, yang memformalkan konsep pencacahan ketakhinggaan. Wilayah lain pengkajian ini yaitu ukuran, yang mengarah pada bilangan kardinal dan kesudahan pada konsepsi ketakhinggaan lainnya: bilangan aleph, yang memungkinkan perbandingan bermakna hal ukuran himpunan-himpunan luhur ketakhinggaan.

Bilangan asli	Bilangan bulat	Bilangan rasional	Bilangan real	Bilangan kompleks

Ruang

Pengkajian ruang berasal dengan geometri – khususnya, geometri euclid. Trigonometri memadukan ruang dan bilangan, dan mencakupi Teorema pitagoras yang terkenal. Pengkajian modern hal ruang memperumum gagasan-gagasan ini untuk menyertakan geometri berdimensi semakin tinggi, geometri tak-euclid (yang bertingkah laku yang dibuat penting di dalam relativitas umum) dan topologi. Besaran dan ruang bertingkah laku yang dibuat penting di dalam geometri analitik, geometri diferensial, dan geometri aljabar. Di dalam geometri diferensial terdapat konsep-konsep buntelan serat dan kalkulus lipatan.

Di dalam geometri aljabar terdapat pemberitahuan objek-objek geometri menjadi himpunan pemberesan persamaan polinom, memadukan konsep-konsep besaran dan ruang, dan juga pengkajian grup topologi, yang memadukan struktur dan ruang. Grup lie biasa dipakai untuk mengkaji ruang, struktur, dan perubahan. Topologi di dalam banyak percabangannya mungkin menjadi wilayah pertumbuhan terbesar di dalam matematika 100 tahun ke-20, dan menyertakan konjektur poincaré yang telah lama benar dan teorema empat warna, yang hanya "berhasil" dibuktikan dengan komputer, dan belum pernah dibuktikan oleh manusia dengan cara manual.

Geometri	Trigonometri	Geometri diferensial	Topologi	Geometri fraktal

Perubahan

Petuah dan mengemukakan perubahan yaitu tema biasa di dalam ilmu ilmu alam, dan kalkulus telah berkembang menjadi alat yang penuh-daya untuk menyeledikinya. Fungsi-fungsi muncul di sini, menjadi konsep penting untuk mengemukakan besaran yang berubah. Pengkajian kaku hal bilangan real dan fungsi-fungsi berpeubah real dikenal menjadi analisis real, dengan analisis kompleks lapangan yang setingkat untuk bilangan kompleks.

Hipotesis Riemann, salah satu masalah terbuka yang paling paling dasar di dalam matematika, dilukiskan dari analisis kompleks. Analisis fungsional memusatkan perhatian pada ruang fungsi (biasanya berdimensi tak-hingga). Satu dari banyak terapan analisis fungsional yaitu mekanika kuantum.

Banyak masalah dengan cara alami mengarah pada hubungan antara besaran dan laju perubahannya, dan ini dikaji menjadi persamaan diferensial. Banyak gejala di alam dapat diterangkan menggunakan sistem dinamika; teori kekacauan mempertepat jalan-jalan di mana banyak sistem ini memamerkan perilaku deterministik yang baru saja saja belum terdugakan.

Kalkulus	Kalkulus vektor	Persamaan diferensial	Sistem dinamika	Teori chaos	Analisis kompleks

Struktur

Banyak objek matematika, semisal himpunan bilangan dan fungsi, memamerkan struktur bagian dalam. Sifat-sifat struktural objek-objek ini diselidiki di dalam pengkajian grup, gelanggang, lapangan dan sistem mujarad lainnya, yang mereka sendiri yaitu objek juga. Ini yaitu lapangan aljabar mujarad. Sebuah konsep penting di sini yakni vektor, diperumum menjadi ruang vektor, dan dikaji di dalam aljabar linear. Pengkajian vektor memadukan tiga wilayah landasan matematika: besaran, struktur, dan ruang. Kalkulus vektor memperluas lapangan itu ke dalam wilayah landasan keempat, yakni perubahan. Kalkulus tensor mengkaji kesetangkupan dan perilaku vektor yang dirotasi. Sejumlah masalah kuno hal Kompas dan konstruksi garis lurus kesudahannya terpecahkan oleh Teori galois.

Teori bilangan	Aljabar mujarad	Teori grup	Teori orde

Landasan dan filsafat

Untuk memeriksa dasar-dasar matematika, lapangan logika matematika dan teori himpunan dikembangkan, juga teori kategori yang baru saja dikembangkan. Ucap majemuk "krisis dasar" mejelaskan proses mencari landasan kaku untuk matematika yang mengambil tempat pada dasawarsa 1900-an sampai 1930-an.^[28] Beberapa ketaksetujuan hal dasar-dasar matematika berlanjut sampai kini. Krisis landasan dipicu oleh sejumlah silang sengketa pada masa itu, termasuk kontroversi teori himpunan Cantor dan kontroversi Brouwer-Hilbert.

Logika matematika diperhatikan dengan meletak matematika pada sebuah kerangka kerja aksiomatis yang kaku, dan mengkaji hasil-hasil kerangka kerja itu. Logika matematika yaitu rumah untuk Teori ketaklengkapan kedua Gödel, mungkin hasil yang paling dirayakan di dunia logika, yang (secara informal) mempunyai dampak bahwa suatu sistem formal yang memuat aritmetika landasan, jika suara (maksudnya semua teorema yang dapat dibuktikan yaitu benar), maka tak-lengkap (maksudnya terdapat teorema sejati yang tidak dapat dibuktikan di dalam sistem itu).

Gödel memperlihatkan cara mengonstruksi, sembarang kelompok aksioma bilangan teoretis yang diberikan, sebuah pemberitahuan formal di dalam logika yaitu sebuah bilangan sejati-suatu fakta teoretik, tetapi tidak menyertai aksioma-aksioma itu. Oleh karena itu, tiada sistem formal yang adalah aksiomatisasi sejati teori bilangan sepenuhnya. Logika modern dibagi ke dalam teori rekursi, teori model, dan teori pembuktian, dan terpaut dekat dengan ilmu komputer teoretis.

Logika matematika	Teori himpunan	Teori kategori

Matematika diskret

Matematika diskret yaitu nama lazim untuk lapangan matematika yang paling berguna di dalam ilmu komputer teoretis. Ini menyertakan teori komputabilitas, teori kompleksitas komputasional, dan teori informasi. Teori komputabilitas memeriksa batasan-batasan bermacam model teoretis komputer, termasuk model yang dikenal paling berdaya - Mesin turing.

Teori kompleksitas yaitu pengkajian traktabilitas oleh komputer; beberapa masalah, meski dengan cara teoretis terselesaikan oleh komputer, tetapi cukup mahal menurut konteks waktu dan ruang, tidak dapat dikerjakan dengan cara praktis, bahkan dengan cepatnya kemajuan perangkat keras komputer. Pamungkas, teori informasi memusatkan perhatian pada banyaknya data yang dapat disimpan pada media yang diberikan, dan oleh karenanya berkenaan dengan konsep-konsep semisal pemadatan dan entropi.

Menjadi lapangan yang relatif baru, matematika diskret memiliki sejumlah masalah terbuka yang paling dasar. Yang paling terkenal yaitu masalah "P=NP?", salah satu Masalah Hadiah Milenium.^[29]

Kombinatorika	Teori komputasi	Kriptografi	Teori graf

Matematika terapan

Matematika terapan berkenaan dengan penggunaan alat matematika mujarad guna memecahkan masalah-masalah konkret di dalam ilmu ilmu, usaha dagang/jasa, dan wilayah lainnya. Sebuah lapangan penting di dalam matematika terapan yaitu statistika, yang menggunakan teori peluang menjadi alat dan membolehkan pemberitahuan, analisis, dan peramalan gejala di mana peluang bertingkah laku yang dibuat penting. Beberapa luhur percobaan, survey, dan pengkajian pengamatan memerlukan statistika. (Tetapi banyak statistikawan, tidak menganggap mereka sendiri menjadi matematikawan, melainkan menjadi kelompok sekutu.)

Analisis numerik menyelidiki cara komputasional untuk memecahkan masalah-masalah matematika dengan cara efisien yang biasanya terlalu lebar untuk kapasitas numerik manusia, analisis numerik melibatkan pengkajian galat pemotongan atau sumber-sumber galat lain di dalam komputasi.

Lihat pula

Catatan

Sumber referensi

Pranala luar